L'IA progresse en mathématiques : les raisons de ce succès
En mai, un modèle interne d'OpenAI a trouvé un contre-exemple à la conjecture des distances unitaires d'Erdős, restée ouverte depuis 1946 malgré les tentatives de nombreux experts. Un mois plus tard, OpenAI a publié une preuve du problème de la double couverture par cycles, puis des solutions à dix autres problèmes ouverts en juillet, et affirme avoir démontré en septembre un résultat sur Navier-Stokes. De son côté, Anthropic a publié une formalisation du dernier théorème de Fermat et amélioré des bornes liées à l'hypothèse de Riemann. L'auteur, qui s'appuie surtout sur les commentaires abondants consacrés à la réfutation de la conjecture d'Erdős, cherche à savoir si l'on peut prédire quels types de problèmes ces modèles résoudront. Il propose un modèle mental simple : résoudre un problème exige une suite d'intuitions ou d'indices, séparées par des phases de travail. Le mathématicien Timothy Gowers formalise cette idée en définissant la difficulté comme la plus courte séquence d'indices permettant à des experts de reconstruire la preuve, une sorte de complexité de Kolmogorov relative aux experts. Sa formule, 2^k + t, où k est la longueur de cette séquence et t le travail nécessaire, croît exponentiellement avec le nombre d'intuitions requises. Pour la conjecture d'Erdős, trois indices suffisaient : chercher un contre-exemple, généraliser la meilleure construction connue, puis essayer des corps de nombres de degré croissant en se limitant à des idéaux premiers de norme bornée.
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L'enjeu est de comprendre où diriger ces systèmes. Si l'IA ne résout pas les problèmes comme les humains, identifier cette différence permet de choisir les questions où elle apportera le plus. La formule de Gowers reste difficile à utiliser en pratique : on ne peut pas prédire à l'avance combien d'indices un problème exigera, et l'on se rabat sur des indicateurs approximatifs comme l'ancienneté du problème, le nombre de tentatives passées ou le prix qui lui est associé. Elle montre aussi qu'un indice vaut d'autant plus qu'il paraissait improbable avant et évident après. Dans le cas des distances unitaires, beaucoup d'experts jugeaient peu probable l'existence d'un contre-exemple. Les indices sont de surcroît ordonnés : le troisième n'est exploitable qu'une fois les deux premiers suffisamment avancés, ce qui disqualifie la force brute consistant à lister mille techniques et à tester toutes leurs combinaisons.
L'auteur observe que les humains explorent les problèmes en largeur : ils génèrent plusieurs pistes, les examinent superficiellement, en abandonnent la plupart et ne s'engagent que sur quelques-unes. Cette contrainte tient au coût du temps, car développer une idée peut prendre des mois, et un chercheur a besoin de raisons de croire qu'elle mènera quelque part, qu'il s'agisse d'une promesse conceptuelle, de premiers résultats ou de l'expérience acquise. Les indices dessinent ainsi un arbre dont chaque étape initiale transforme le problème et révèle les choix suivants. Cette façon de procéder explique pourquoi des pistes jugées peu prometteuses, comme un contre-exemple à une conjecture célèbre, peuvent rester inexplorées pendant des décennies. Elle laisse entrevoir que des machines moins contraintes par le temps pourraient fouiller autrement cet arbre, et que leurs succès récents s'expliqueraient en partie ainsi.
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